Metody Numeryczne - Kolokwium 2

Wzory na całki

Wzór prostokątów

$$Q(f) = (b - a)\cdot f\Big(\frac{a+b}{2}\Big)$$

Wzór trapezów

$$Q(f) = \frac{b-a}{2} \cdot \Big(f(a) + f(b)\Big)$$

Wzór Simpsona

$$Q(f) = \frac{b-a}{6}\cdot\Big(f(a) + \big(4\cdot f(\frac{a+b}{2})\big) + f(b)\Big)$$

Od prowadzących

Dla jednoznaczności sześciennej funkcji sklejanej, do warunków zgodności i ciągłości w węzłach interpolacji dodaje się dwa "dodatkowe" warunki. Każdej wersji sześciennej interpolacji sklejanej należy przyporządkować właściwe jej warunki "dodatkowe".
Oznaczenia:
Funkcja interpolowana: $f(x)$
Węzły: $x_0, x_1, \dots, x_n$
Funkcja sklejana $S$ jest "połączeniem" wielomianów $S_1, S_2, \dots, S_n$.

Jeżeli dla aproksymacji 3 zmierzonych danych $P_i(x_i, y_i)$ o współrzędnych $(1, 0)$, $(3, 1)$ i $(5, 0)$ wybierzemy wielomian 1. stopnia oraz jako wskaźnik jakości aproksymacji $||\quad||_\infin$ to funkcją aproksymującą będzie stała $y = a$. Jaką wartość (z dokładnością do 2 miejsc po przecinku) ma stała $a$?

$0,33$

Jeżeli funkcja, której minimum należy znaleźć, jest "funkcją kwadratową", a dokładniej - ma postać formy kwadratowej $F(x) = x^TAx + b^Tx + c,\ x\in\R^n$ i macierz $A$ jest dowolną macierzą dodatnio określoną, czyli funkcja jest wypukła, to liczba koniecznych iteracji metody najszybszego spadku jest

równa $n$

Wskaż poprawne zdanie dotyczące błędu metod różniczkowania automatycznego

Pochodne są obliczane z dokładnością maszynową (brak błędu metody)

Za pomocą prostego wzoru Simpsona oblicz całkę $\int_{21}^{32}\frac{1}{2}xdx$ w granicach $a = 21$, $b = 32$

$145,75$

Należy wskazać zdanie fałszywe

Początkowe 3 etapy tworzenia kwadratury Romberga są równoważne kwadraturom Newtona-Cotesa, ale dalsze etapy są od nich mniej efektywne (większy koszt, mniejsza dokładność)

Podaj najniższy stopień jednoznacznego wielomianu interpolującego w przypadku ogólnym 9 punktów danych

$8$

Właściwości metod bezpośrednich i pośrednich szukania minimum funkcji $F$ wielu zmiennych. Należy zaznaczyć wszystkie zdania prawdziwe

• Metody pośrednie sprowadzają problem minimalizacji funkcji $n$ zmiennych do problemu rozwiązania jednego równania z $n$ niewiadomymi
• Jeżeli funkcja nie jest różniczkowalna (nie jest klasy $C^1$) względem którejkolwiek zmiennej, to właściwym wyborem metody szukania minimum tej funkcji jest metoda bezpośrednia
• Każda metoda bezpośrednia wymaga obliczania gradientu funkcji $F$
• Metody pośrednie sprowadzają problem minimalizacji funkcji $n$ zmiennych do problemu rozwiązania $n$ równań z $n$ niewiadomymi
• Każda metoda pośrednia wymaga obliczania gradientu funkcji $F$
• W żadnej metodzie bezpośredniej nie jest obliczany gradient funkcji $F$

Mamy funkcję sklejaną wielomianem piątego stopnia. Jakie warunki (oprócz tych dodatkowych i potrzebnych przy funkcji sklejanej 3 stopnia) musi spełniac ta funkcja?

Ciągłość trzeciej i czwartej pochodnej

Znamy wartość funkcji w 3 punktach: $f(x_0 - h)$, $f(x_0)$, $f(x_0 + h)$, gdzie $h$ jest bardzo małe. Dla jakiej metody całkowania otrzymujemy najmniejszy błąd?

Simpsona

W jakiej metodzie różniczkowania wykorzystywane są liczby dualne?

Automatycznej

Która metoda optymalizacji na poczatku liczy krok, a potem kierunek kroku?

• gradientu
• Newtona
• najwiekszego spadku
• nie pamietam (obszaru wiarygodności?)

Zjawisko niedopasowania funkcji aproksymujacej zachodzi gdy:

• dla zbioru uczacego blad jest maly, a dla testowego duzy
• dla zbioru uczacego i testowego maly blad
• dla zbioru uczacego i testowego duzy blad
• dla zbioru uczacego duzy blad, a dla testowego maly

Za pomocą prostego wzoru Simpsona oblicz całkę $\int_{0}^{2}\frac{1}{2}xdx$ w granicach $a = 0$, $b = 2$

$1$

Policz pochodną funkcji $f(x) = x^2 + 3x + 5$ wykorzystując różniczkowanie w przód ($\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$) dla punktu $x = 9,2$ i $h = 0,1$

$21,5$

Jeżeli funkcja, której minimum należy znaleźć, jest "funkcją kwadratową", a dokładniej - ma postać formy kwadratowej $F(x) = x^TAx + b^Tx + c,\ x\in\R^n$ i macierz $A$ jest dowolną macierzą dodatnio określoną, czyli funkcja jest wypukła, to liczba koniecznych iteracji metody Newtona jest

równa $1$

Wybierz prawdziwe stwierdzenia dotyczące metod różniczkowania symbolicznego

• cechuje je duża złożoność obliczeniowa
• dają najbardziej dokładne wyniki

Za pomocą prostego wzoru Simpsona oblicz całkę $\int_{10}^{11}\frac{1}{2}xdx$ w granicach $a = 10$, $b = 11$

$5,25$

Podaj najniższy stopień jednoznacznego wielomianu interpolującego w przypadku ogólnym 24 punktów danych

$23$

Część IV - Interpolacja

Jakie dodatkowe warunki musi spełniać sześcienna funkcja sklejana?

Ciągłość pierwszej i drugiej pochodnej

Możemy powiedzieć, że interpolacja jest szczególnym przypadkiem aproksymacji, gdy:

funkcja aproksymująca przechodzi przez wszystkie punkty

Wskaż wersję interpolacji sześciennej, dla której funkcję interpolującą można skleić na granicach interpolacji z funkcjami stałymi, zachowując ciągłość

Otwarta

Ile funkcji interpolujących można przeprowadzić przez n węzłów interpolacji?

nieskończenie wiele

Ile wielomianów interpolujących stopnia co najwyżej n można przeprowadzić przez n różnych węzłów interpolacji?

1

Wskaż zdanie fałszywe odnośnie interpolacji wielomianowej.

Polega na wyznaczeniu przedziałów za pomocą węzłów interpolacji i wyznaczeniu w każdym przedziale funkcji interpolującej

Ile składowych funkcji interpolujących należy wyznaczyć podczas interpolacji metodą funkcji sklejanych funkcji opisanej za pomocą n węzłów?

n - 1

Jakie rozmieszczenie węzłów najlepiej ogranicza błąd interpolacji?

w zerach wielomianów Czebyszewa

W algorytmie obliczania współczynników wielomianu sklejanego macierz H musi być

diagonalnie dominująca

Funkcja interpolująca zadane węzły jest

jednoznacznie określona przez nieosobliwy układ równań liniowych

Część V - Aproksymacja

Zagadnienie aproksyamcji dyskretnej możemy sprowadzić do rozwiązania układu równań liniowych z kwadratową macierzą współczynników jeżeli bład aproksymacji mierzymy nurmą || ||2 oraz zależność funkcji aproksymującej od jej parametrów jest

liniowa

Jaką normę aproksymacji błędu należy przyjąć aby zadanie aproksymacji średniokwadratowej można było sprowadzić do zagadnienia liniowego?

średniokwadratową

Dodanie jednego parametru (do dotychczasowego zbioru parametrów) funkcji aproksymującej powoduje

zmniejszenie błędu

Do czego służy aproksymacja?

Do przybliżania funkcji

Dla której normy funkcja określająca odległość funkcji aproksymowanej od aproksymującej będzie różniczkowalna w dowolnym punkcie?

2 (z pominięciem pierwiastkowania)

W jakich punktach należy wykonywać pomiary aby uzyskać jak najlepsze dopasowanie funkcji aproksymującej do rzeczywistej funckji

W pierwiastach wielomianu Czebyszewa

Część VI - Całkowanie

Kwadratura prostokątna wprzód posiada rząd równy

0

Kwadratura prostokątna wstecz posiada rząd równy

0

Kwadratura prostokątna punktu środkowego posiada rząd równy

1

Kwadratura trapezowa posiada rząd równy

1

Kwadratura Simpsona posiada rząd równy

3

Kwadratura reguły 3/8 posiada rząd równy

3

Kwadratura Boola posiada rząd równy

5

Kwadratura NC 6 posiada rząd równy

7

Kwadratura NC 8 posiada rząd równy

9

Jaki maksymalny rząd posiada kwadratura interpolacyjna, której wszystkie węzły $x_0,x_1,\dots,x_n$ są pierwiastkami wielomianu ortogonalnego na przedziale $[a, b]$?

2n + 1

Przy dodawaniu większej ilości węzłów, błąd jest redukowany najwolniej przy metodzie:

trapezowej

Algorytm adaptacyjny różni się od stałokrokowego

tym że się podaje docelową dokładność a nie ilość próbek wykresu

Podstawowym problemem błędu adaptacyjnego jest

fakt że mimo zadanej dokładności, nie ma gwarancji, że wynik będzie spełniał wymaganie

Kwadratury sprowadzają się do

liczenia dużej ilości drobnych całek, przybliżając pola do prostych figur

Kwadratury w odróżnieniu od tradycyjnego liczenia całek pozwalają na

liczenie całki ze zbioru punktów (np. z danych pomiarowych)